深圳双十关于波包再现结构
    由式((1.24)可知，当t较小时，式((1.24)中相位第一项起主导作用，波函
数W (r, t)在时间轴上以周期Tc呈近似的周期性变化。时间t进一步增加并与Trev
相比拟，周期运动受第二项的调制，并最终导致波包的扩展和塌缩。然而当t再增
加，使第二项的数值等于2711时，波函数的变化与第二项无关(位相增加了271)，
波函数的变化再次仅由第一项决定，结果是波函数再现了其初始状态，并以Te为
周期作周期性变化，这一过程为完全复原过程。当时间大于Trev但又远小于Tsuper
rev时，波函数将多次重复周期性变化的波包再现过程，每当t为Trev的整数倍时，
相位也为271的整数倍。在一些特殊的时刻，t-~-7 Trev之比为有理分数，波包汇聚成
一系列子波，称为分数期回复波包。分数期回复的子波包运动同样具有周期性，
运动周期为Tc的分数倍。
    式((1.24)中含时位相中的第三项调制波包运动的整个周期，包括波包塌
缩、分数期和整数期周期性再现。当时间t和Tsuper rev相比拟时，整个波包再现过
程塌缩，而新的波包再现过程受Tsuper rev控制。在时刻t= (1/q) Tsuper rev，其中q
为3的倍数，同样波包将演化成一系列的子波包，称为分数期超回复波包，波包的
运动周期为(3/q) Tsuper rev。特别是，当t=Tsuper rev时，波函数重新回复到初始
波包，回复程度甚至好于全回复时刻(Trev)的波形。这一新的演化波包结构称为
超回复。
    上述分析可知，波包演化的时间结构取决于木征能量与量子数问的关系。举
几个简单的例子说明波包在各种势阱中的演化过程。
    (i)简单谐振子系统
    谐振子的木征能级为E11= (n十1/2) hco，取自然单位h=c)=i，有
，可见在谐振子系统波包的演化呈完美的周期性运动，并在T。的整数倍时刻完全
回复初始时刻波包的形状。波包既不会塌缩，也不存在回复和超回复期。该结论
同样也适用于D维谐振子，该量子系统的木征能量为E11= (n+D/2) hw o
    图1.9为一维谐振子波包在一个经典轨道周期内的演化过程，参数取
                                        万=15
，6=1.5。如图1.9所示，波包开始处于势阱右侧的折返点，对应于经典振子。值得
注意的是，尽管波包是定域的，但其形状并不是高斯波形，波包在运动过程中波
形会发生改变。这一点和图L7的谐振子不同，两者的区别是，前者是所有木征态
的相干叠加，而后者仅仅取能量空间中某一片段对应的木征态的相干叠加。尽管
如此，波包还是遵循经典运动过程，周期为
                          Tc=2刁E务=27r
或Tc=27t/Wco c)c为相应的圆频率。这一差别可由不确定性原理来解释，即空间位
置的不确定性与动量的不确定性满足傅里叶变换。波包在空间的弥散表示位置的
不确定性，能量分布的宽度表示动量的不确定性。因此相干叠加的能态能谱越
宽，波包的定域性越好，反之亦然。
    对于类Morse势函数型的非谐性系统，非谐性振子的能级可表示为E=hc)
(n-Bn'- )，其中。为基频，B为非谐性系数。取自然单位h=c)=i，有E轰=1-
                            2 H,, .以一一2B. E;,一。
。可见在对非谐性振子系统而言，波包的经典振动周期为
                                          T,=2二/(1一2Bn)
，与波包的平均振动量子数万及非谐性系数B相关，万或B越人，振动频率越低。
与谐性振子不同，非谐性振子存在一相位回复周期Ti.ev=271/B或Trev=271/
(c,)B)，但不存在超回复周期。
(3)刚性转子
刚性转子的Hamiltonian为
，Lz为角动量，I为转动惯量，
周期性边界条件，并表示为Wil
    H=1,'121
为简便起见，取原子单位且令I=1。木征波函数符合
(中)=
(1/丫 27r)e"4
  木征能量为E11-n 2/2。可知
E L.一万，E;,一1.Ell,一。
  相应的特征时间为:
Te=2二/11
=2nTc.Tsuper
波包大致回复，
Trev
rev=00
。波包的演化过程为经历T。间隔后，
始形状，当t=Trev时，波包完全回复。
经历1/ 2Trev后波包更接近初